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共线向量定理的证明(多种方法)

归档日期:07-01       文本归类:多点通信服务      文章编辑:爱尚语录

  如果 a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是:存在唯一实数λ,使得 b=λa。

  1)充分性,对于向量 a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使 b=λa,那么由 实数与向量的积的定义 知,向量a与b共线)必要性,已知向量a与b共线,且向量b的长度是向量a的长度的m倍,即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时,令 λ=m,有 b =λa,当向量a与b反方向时,令 λ=-m,有 b=-λa。如果b=0,那么λ=0。

  3)唯一性,如果 b=λa=μa,那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0,所以 λ=μ。

  两个向量a、b共线的充要条件是:存在不全为零的实数λ、μ,使得 λa+μb=0。

  1)充分性,不妨设μ≠0,则由 λa+μb=0 得 b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知,向量a与b共线)必要性,已知向量a与b共线,则由共线向量基本定理知,b=λa,所以 λa-b=0,取 μ=-1≠0,故有 λa+μb=0,实数λ、μ不全为零。若a=0,则取μ=0,取λ为任意一个不为零的实数,即有 λa+μb=0。

  两个非零向量a、b共线的充要条件是:存在全不为零的实数λ、μ,使得 λa+μb=0。

  1)充分性,∵μ≠0,∴由 λa+μb=0 可得 b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知,向量a与b共线)必要性,∵向量a与b共线,则由 共线向量基本定理 知,b=λa;又∵b≠0,∴λ≠0; 取 μ=-1≠0,就有 λa+μb=0,实数λ、μ全不为零。

  如果a、b是两个不共线的向量,且存在一对实数λ、μ,使得 λa+μb=0,那么λ=μ=0。

  不妨假设μ≠0,则由 推论1 知,向量a、b共线;这与已知向量a、b不共线矛盾,故假设是错的,所以λ=μ=0。

  如果三点P、A、B不共线,那么点C在直线AB上的充要条件是:存在唯一实数λ,使得

  向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。(其中,向量AC=λ向量AB)。

  如果三点P、A、B不共线,那么点C在直线AB上的充要条件是:存在唯一一对实数λ、μ,使得

  三点P、A、B不共线 = 点C在直线AB上的充要条件是:存在实数λ、μ,使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。(其中,λ+μ=1)

  下面证唯一性,若 向量PC=m向量PA+n向量PB,则 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB,

  ∵三点P、A、B不共线,∴向量PA 与 向量PB 不共线 知,m=λ,n=μ。

  如果三点P、A、B不共线,那么点C在直线AB上的充要条件是:存在不全为零的实数λ、μ、ν,使得

  1)充分性,由推论5 知,若三点P、A、B不共线,则 点C在直线AB上 = 存在实数λ、μ,使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB(其中,λ+μ=1)。

  取ν=-1,则有:λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0,λ+μ+ν=0,且实数λ、μ、ν不全为零。

  2)必要性,不妨设ν≠0,且有:λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0,λ+μ+ν=0,则 向量PC=(λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB,(-λ/ν)+(-μ/ν)=1。由推论5 即知,点C在直线AB上。

  点P是直线AB外任意一点,那么三不同点A、B、C共线的充要条件是:存在全不为零的实数λ、μ、ν,使得

  ∵点P是直线AB外任意一点,∴向量PA≠0,向量PB≠0,向量PC≠0,且 向量PA、向量PB、向量PC两两不共线 知,实数λ、μ、ν不全为零,

  1)假设实数λ、μ、ν中有两个为零,不妨设λ≠0,μ=0,ν=0。则 λ向量PA=0,∴向量PA=0。这与向量PA≠0。

  2)假设实数λ、μ、ν中有一个为零,不妨设λ≠0,μ≠0,ν=0。则 λ向量PA+μ向量PB=0,∴向量PA=(μ/λ)·向量PB,∴向量PA 与 向量PB共线,这与向量PA 与 向量PB不共线矛盾。

  都是有向面积。通常约定,顶点按逆时针方向排列的三角形面积为正,顶点按顺时针方向排列的三角形面积为负。

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